含电容和恒定外力的金属棒运动分析

忽略一切电阻，以导体棒为研究对象，

利用动量定理对齐进行分析， $(F_A+F)\cdot \Delta t = m \Delta v$ 即为动力学方程 $-BL\frac{dQ}{dt}+F=m\frac{dv}{dt}\tag{1}$ 电路满足基尔霍夫定律： $BLv = R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}\tag{2}$ 若电路一切电阻忽略不计，即R=0，则 $BLv=\frac{Q}{C}\rightarrow BL\frac{dv}{dt}=\frac{1}{C}\frac{dQ}{dt}$ 带入金属棒动力学方程 $-CB^2L^2\frac{dv}{dt}+F=m\frac{dv}{dt}\tag{3}$ 得到: $a=\frac{dv}{dt}=\frac{F}{m+CB^2L^2}\tag{4}$ 金属棒做匀加速运动，导体棒和电容两端电压随时间线性增大，电容器携带电量也线性增加。在不考虑电阻下，系统将在极短时间达到最终状态。在这个过程中有一瞬间存在大电流，从而形成不能忽略的电磁波能量耗散，因此往往不能采用系统能量守恒进行解题。

若电阻R考虑，则(2)式再次求导，

$BL\frac{dv}{dt}=R\frac{d^2Q}{dt^2}+\frac{1}{C}\frac{dQ}{dt}\tag{5}$ 由(1)得 $\frac{dQ}{dt}=\frac{F}{BL}-\frac{m}{BL}\frac{dv}{dt}$ $\frac{d^2Q}{dt^2}=-\frac{m}{BL}\frac{d^2v}{dt^2}$ 带入(5)得： $\frac{d^2v}{dt^2}+\frac{m+CB^2L^2}{CmR}\frac{dv}{dt}=\frac{F}{CmR}$ v关于t的二阶非其次常微分方程令 $a=\frac{m+CB^2L^2}{CmR},b=\frac{F}{CmR}$ $\frac{d^2v}{dt^2}+a\frac{dv}{dt}=b$ 可求助chatgpt求解 $v(t)=c_1e^{-at}+\frac{b}{a}t+c_2,\quad c_1,c_2为常数$ 进一步 $v(t)=c_1e^{-at}+\frac{F}{m+CB^2L^2}t+c_2$ 从这个解也可以看出当R小，a很大，或者长时间后，主要形式规律以线性函数为主。